Bài tập tích phân bội 2 có lời giải

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 2: Tích phân bội" có cấu trúc gồm 2 bài học kinh nghiệm cung cấp cho những người học các kiến thức: Tích phân bội nhị (kép), tích phân bội ba, ứng dụng của tích phân bội.

Bạn đang xem: Bài tập tích phân bội 2 có lời giải

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘIBài 1. Tích phân bội hai (kép)Bài 2. Tích phân bội baBài 3. Ứng dụng của tích phân bội Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI bài xích 1. Tích phân bội hai1.1. Câu hỏi mở đầu1.2. Tích phân bội hai1.3. đặc thù của tích phân bội hai1.4. Cách thức tính tích phân kép bài xích 1. Tích phân bội hai1.1. Bài bác toán mở màn z S z = f (x , y ) V O y D x bài xích 1. Tích phân bội hai z S f (M i ) z = f (x , y ) DV i Vf (M i ).D S i O y • DS i x D Mi bài 1. Tích phân bội hai z n V ﾻ ﾻ DV i i =1 O yx bài bác 1. Tích phân bội nhì 1.2. Tích phân bội hai 1.2.1. Định nghĩa Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy . Chia D thành n phần ﾻ S i (i ﾻ 1,..., n ) như bài xích toán mở đầu và lấy n điểm tùy ý M i (x i , y i ) ﾻ ﾻ S i .  bài bác 1.

Xem thêm: Lời Bài Hát: Cả Một Trời Nhớ Thương Nhớ, Lời Bài Hát Một Trời Thương Nhớ

Tích phân bội nhì Khi đó n In ﾻ ﾻ f (M i )ﾻ S i iﾻ 1 được gọi là tổng tích phân của f (x , y ) trên D .  bài bác 1. Tích phân bội nhị n nếu như I ﾻ lim ﾻ f (M i )ﾻ S i tồn tại hữu hạn thì số nﾻ ﾻ iﾻ 1 thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số f (x , y ) trên miền D , ký hiệu là I =� �f (x ,y )dxdy D bài bác 1. Tích phân bội hai Nếu tồn tại tích phân ﾻﾻ f (x , y )dxdy , ta nói: D • hàm số f (x , y ) khả tích trên miền D ; • f (x , y ) là hàm dưới dấu tích phân; • dx , dy là các vi phân lần lượt theo biến x và y .  bài bác 1. Tích phân bội hai 1.2.2. Định lý Hàm f (x , y ) liên tiếp trong miền D đóng cùng bị chặn thì khả tích trong D .  bài bác 1. Tích phân bội nhì 1.3. đặc điểm của tích phân kép mang thiết rằng các tích phân tiếp sau đây đều tồn tại. • Tính chất 1 ﾻﾻ f (x ,y )dxdy ﾻ ﾻﾻ f (u , v )dudv D D bài xích 1. Tích phân bội hai • Tính chất 2 ﾻﾻ (f ﾻ g)dxdy ﾻ ﾻﾻ fdxdy ﾻ ﾻﾻ gdxdy D D D ﾻﾻ k .fdxdy ﾻ k ﾻﾻ fdxdy (k ﾻ ¡ ) D D bài 1. Tích phân bội hai • Tính chất 3 Nếu chia miền D thành D1 và D2 bởi đường cong có diện tích bằng 0 thì ﾻﾻ fdxdy ﾻ ﾻﾻ fdxdy ﾻ ﾻﾻ fdxdy D D1 D2 bài bác 1. Tích phân bội hai 1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4.1. Đưa về tích phân lặp a) Định lý (Fubini) Giả sử I ﾻ ﾻﾻ f (x , y )dxdy tồn tại, trong đó D D ﾻ (x , y ) : a ﾻ x ﾻ b, y 1(x ) ﾻ y ﾻ y 2(x ),  bài 1. Tích phân bội nhị y 2(x ) và với mỗi x ﾻ  cố định, ﾻ f (x , y )dy tồn tại. Y1(x ) Khi đó, ta có: b ﾻy 2(x ) ﾻ b y 2(x ) ﾻﾻ ﾻﾻ I ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ f (x , y )dy ﾻﾻ dx ﾻ ﾻ dx ﾻ f (x , y )dy ﾻﾻ ﾻ a ﾻ ﾻy1(x ) ﾻﾻ a y 1(x ) bài bác 1. Tích phân bội nhì Tương tự, nếu miền D là D ﾻ (x , y ) : x 1(y ) ﾻ x ﾻ x 2(y ), c ﾻ y ﾻ d thì d ﾻx 2(y ) ﾻ d x 2(y ) ﾻﾻ ﾻﾻ I ﾻ ﾻ ﾻ ﾻ f (x , y )dx ﾻﾻ dy ﾻ ﾻ dy ﾻ f (x , y )dx ﾻﾻ ﾻ c ﾻ ﾻ x 1(y ) ﾻﾻ c x 1(y ) bài 1. Tích phân bội hai Chú ý 1) Nếu miền D là hình chữ nhật, D ﾻ a ﾻ x ﾻ b, c ﾻ y ﾻ d ﾻ ﾻ , thì b d d b ﾻﾻ f (x , y )dxdy ﾻ ﾻ dx ﾻ fdy ﾻ ﾻ dy ﾻ fdx D a c c a bài 1. Tích phân bội hai 2) Nếu miền D ﾻ a ﾻ x ﾻ b, y 1(x ) ﾻ y ﾻ y 2(x ) cùng f (x , y ) ﾻ u (x ).v(y ) thì b y 2(x ) ﾻﾻ f (x , y )dxdy ﾻ ﾻ u (x )dx ﾻ v(y )dy D a y 1(x ) bài 1. Tích phân bội hai 3) Nếu miền D ﾻ x 1(y ) ﾻ x ﾻ x 2(y ), c ﾻ y ﾻ d với f (x , y ) ﾻ u (x ).v(y ) thì d x 2(y ) ﾻﾻ f (x , y )dxdy ﾻ ﾻ v(y )dy ﾻ u (x )dx D c x 1(y ) 4) Nếu D là miền phức tạp thì ta phân tách D ra thành những miền đơn giản.  bài xích 1. Tích phân bội hai VD 1. Tính tích phân I ﾻ ﾻﾻ 2x cosy dxdy , D trong đó miền D giới hạn bởi: ﾻ ﾻ ﾻ 1 ﾻ x ﾻ 2, ﾻ y ﾻ . ﾻ 4 2 2 2 6- 3 2 Giải. Ta có I ﾻ ﾻ 2x dx ﾻ cosy dy = . ﾻ 1 ﾻ 2 4