BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-MY

1. Định nghĩa:

Phương trình vi phân đường tính cấp 1 là phương trình có dạng:

(1) (hay )

trong đó p(x), q(x) là phần lớn hàm số liên tục, mang lại trước.

Bạn đang xem: Bài tập phương trình vi phân cấp 1

Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân con đường tính cung cấp 1 thuần nhất.

Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến đường tính cấp cho 1 không thuần nhất.

2. Cách giải:

2.1 phương pháp 1: phương pháp thừa số tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với vượt số

Ta được:

(*)

ta chăm chú vế trái của phương trình đã thấy biểu thức ngơi nghỉ vế trái đó là đạo hàm của tích số

. Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

Lấy tích phân nhì vế ta được:

.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

" class="latex" />

Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y vào trường hợp hệ số của y’ bằng 1.

Ví dụ: Giải phương trình

Nhân 2 vế của phương trình với thừa số

.

Xem thêm: Nhìn Lại Dàn Sao ' Những Người Thừa Kế Tập 1, Từ Đây Em Hãy Thích Tôi Đi

Ta đươc:

Hay:

Lấy tích phân 2 vế ta được:

Vậy nghiệm bao quát của phương trình là:

2.2 phương pháp 2: phương thức Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)

Từ phương pháp thứ nhất, ta nhận biết nghiệm của phương trình bao gồm dạng tích của nhì hàm số. Vày vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình bên dưới dạng tích:

Ta có:

Thế vào phương trình ta có:

Hay:

(*)

Phương trình (*) bao gồm tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ buộc phải không thể giải tìm kiếm u, v bất kỳ. Để kiếm tìm u, v thỏa mãn nhu cầu phương trình (*), ta bắt buộc chọn u, v làm thế nào cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta lựa chọn u(x) làm thế nào cho

(**)

Ta dễ dãi tìm được hàm u(x) thỏa (**) bởi (**) đó là phương trình bóc biến. Lúc đó:

Chọn C = 1 ta có:

Như vậy ta tìm kiếm được hàm u(x) buộc phải từ (*) ta đang có:

Vậy, nghiệm tổng thể của phương trình (1) là:

" class="latex" />

2.3 biện pháp 3: phương pháp Larrange (pp biến chuyển thiên hằng số)

Từ biện pháp 2 ta thấy nghiệm phương trình tất cả dạng

với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đấy là phương trình vi phân đường tính thuần nhất cấp cho 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân đường tính thuần nhất cung cấp 1 ta tìm kiếm được:

Mà công thức nghiệm bao quát của phương trình (1) lại là:

chỉ sai khác so cùng với u(x) ở đoạn thế hằng số C bởi hàm phải tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ việc tìm nghiệm tổng thể của phương trình thuần nhất, tiếp đến thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài bác toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình đường tính thuần nhất cung cấp 1 links với phương trình (1):

Nghiệm tổng thể của phương trình thuần nhất bao gồm dạng:

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính ko thuần tốt nhất (1) tất cả dạng:

Ta có:

Thế vào phương trình ta có:

Suy ra:

. Từ đó kiếm được v(x).

Nhận xét:

Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ bí quyết như biện pháp 1 và cách 2. Dường như ở cách 3, trong bước 2 khi thay vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn luôn khử được đa số gì tương quan đến v(x) và chỉ còn lại v"(x). Do đó, nếu lúc thế vào mà lại ta ko triệt tiêu được v(x) thì tức là hoặc ta núm sai, hoặc ở cách 1 ta đang giải sai. Điều này vẫn giúp chúng ta dễ dàng kiểm tra công việc giải của mình và kịp thời phát hiện tại sai sót.